Числовая информация перед выполнением вычислений проходит этап перевода из десятичной позиционной системы счисления, которую мы обычно используем , в двоичную позиционную систему счисления, которая применяется в компьютере. Этот процесс компьютер выполняет автоматически

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
(Математические языки)

Системой счисления называется способ представления любого числа с помощью алфавита данной системы ( т.е. с помощью цифр или других знаков).
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от её позиции в числе.
В математике используется позиционная система счисления с алфавитом из десяти знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (десятичная система).
В компьютерной технике применяются позиционные системы с алфавитом из двух знаков: 0 и 1 ( двоичная система ) и с алфавитом из шестнадцати знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f ( шестнадцатиричная система счисления ).
Десятичное число 777 означает 7 сотен, 7 десятков и 7 единиц.

В непозиционной системе счисления выделяют некоторые знаки для записи основных чисел. Остальные числа получаются как сумма или разность основных чисел.

Пример: римская система счисления I,V,X,L,... - основные знаки, II,III,VI,... - суммы, IV,IX,... - разности.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Количество знаков в алфавите позиционной системы называется основанием системы и обозначается как S.

Например, в десятичной системе счисления алфавит состоит из десяти знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , следовательно S=10.

В двоичной системе алфавит состоит из двух знаков: 0 1 , значит S=2.

Любое число в позиционной системе счисления является условной записью и может быть подробно представлено с помощью основания данной системы.

Пример : десятичное число 123= 1 ^x 10 ² + 2 ^x 10 ¹ + 3 ^x 10 ⁰

Попробуем записать это в общем виде. Допустим, что X - любое число . Обозначим любую из цифр, с помощью которых записано это число, как латинскую букву a, после которой в скобках указан номер позиции этой цифры в числе X, т.е. число X имеет вид :

a(n) a(n-1)...a(1) a(0) , a(-1) a(-2) ... a(-m)
где
a(n)...a(0)...a(-m) - любые цифры от 0 до (S-1), n и m - любые целые числа. Запятая отделяет целую часть числа от дробной.
Пример:
X=1234,56 = 1 ^x 10³+2 ^x 10²+3 ^x 10¹+4 ^x 10⁰+5 ^x 10^-1+6 ^x 10^-2,
так как a(3)=1 a(2)=2 a(1)=3 a(0)=4 a(-1)=5 a(-2)=6
S=10
Тогда справедливо выражение:
X= a(n) ^x Sⁿ + a(n-1) ^x S^(n-1) + ... + a(1) ^x S¹ + a(0) ^x S⁰ + a(-1) ^x S^-1 + a(-2) ^x S^-2 + ... + a(-m) ^x S^-m

Это основная формула представления чисел в позиционной системе счисления.
Позиции цифр в числе называются разрядами. Разряды нумеруются так, как показано в следующих примерах:

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО

Двоичная система счисления имеет в алфавите две цифры: 0 и 1, следовательно основание двоичной системы S=2.
Рассмотрим двоичное число 100011. Представим его по основной формуле позиционной системы:

Вспомним, что

Пример:
155 =1 х 2⁷ + 0 х 2⁶ + 0 х 2⁵ + 1 х 2⁴ + 1 х 2³ + 0 х 2² + 1 х 2¹ + 1 х 2⁰=10011011

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ И ОБРАТНО

16-ричная система имеет алфавит из 16 символов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Следовательно, основание S=16.
Перевод чисел из двоичного кода в 16-ричный и обратно можно производить по основной формуле записи чисел в позиционной системе счисления (аналогично переводу чисел из двоичного кода в десятичный
и обратно, рассмотренному ранее). Однако, поскольку основание 16-ричной системы кратно основанию двоичной системы ( 16=2⁴),существует более простой способ. Рассмотрим этот способ.

Для перевода двоичного кода в 16-ричный нужно:

• подразделить двоичный код на тетрады (т.е. по 4 разряда) справа налево, (если последняя тетрада неполная, то дополнить её слева нулями)
• каждую тетраду перевести в 16-ричный код по таблице, приведённой ниже

 При переводе из шестнадцатеричного кода в двоичный нужно проделать обратные действия, то есть, заменить каждую шестнадцатеричную цифру её двоичным эквивалентом (тетрадой).

Примеры:

1100 0001 0101 1111 = c15f

3d = 0011 1101 = 11 1101